Az elektromosságtan egyik érdekes problémája, hogy egy telep belső ellenállása és feszültsége hogyan számítható ki, ha adott ellenállásokat kapcsolunk hozzá. Ebben a példában két 3 ohmos ellenállást kapcsolunk egy telepre, és vizsgáljuk az általuk felvett teljesítményt. Az ellenállásokat sorosan és párhuzamosan is kapcsoljuk, és mindkét esetben az összes teljesítmény 6 W. Nézzük meg, hogyan számítható ki a telep belső ellenállása és feszültsége.
A probléma megértése
Két 3 ohmos ellenállásunk van, amelyeket sorosan, majd párhuzamosan kapcsolunk egy telepre. Mindkét esetben az összes teljesítmény 6 W. A célunk a következő kérdések megválaszolása:
- a) Mennyi a telep belső ellenállása?
- b) Mennyi a telep belső feszültsége?
Az alapvető képletek
Az elektromosságtan néhány alapképlete szükséges a probléma megoldásához:
- Teljesítmény képlete: \(P = I^2 \cdot R = \frac{U^2}{R}\), ahol \(P\) a teljesítmény, \(I\) az áram, \(R\) az ellenállás és \(U\) a feszültség.
- Sorosan kapcsolt ellenállások eredője: \(R_\text{össz} = R_1 + R_2\).
- Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője: \(\frac{1}{R_\text{össz}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\).
1. lépés: Az ellenállások kapcsolása sorosan
Amikor a két ellenállást sorosan kapcsoljuk, az eredő ellenállás:
\(R_\text{soros} = 3 \, \Omega + 3 \, \Omega = 6 \, \Omega\).
A teljesítmény képlete alapján a telep által leadott teljesítmény:
\(P = \frac{U_\text{soros}^2}{R_\text{soros}}\).
Tudjuk, hogy \(P = 6 \, \text{W}\), így:
\(6 = \frac{U_\text{soros}^2}{6}\).
Ebből \(U_\text{soros}^2 = 36\), tehát \(U_\text{soros} = 6 \, \text{V}\).
2. lépés: Az ellenállások kapcsolása párhuzamosan
Párhuzamos kapcsolás esetén az eredő ellenállás:
\(\frac{1}{R_\text{párh}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \, \text{ohm}\).
Így \(R_\text{párh} = 1.5 \, \Omega\).
A teljesítmény képlete alapján:
\(P = \frac{U_\text{párh}^2}{R_\text{párh}}\).
Tudjuk, hogy \(P = 6 \, \text{W}\), tehát:
\(6 = \frac{U_\text{párh}^2}{1.5}\).
Ebből \(U_\text{párh}^2 = 9\), tehát \(U_\text{párh} = 3 \, \text{V}\).
3. lépés: A belső ellenállás és feszültség meghatározása
A telep belső ellenállása \(R_\text{b}\) és belső feszültsége \(U_\text{b}\). Az összesített ellenállás a belső ellenállás és a külső terhelés összege. Soros kapcsolásnál:
\(R_\text{össz} = R_\text{b} + R_\text{soros}\), azaz \(R_\text{össz} = R_\text{b} + 6\).
Párhuzamos kapcsolásnál:
\(R_\text{össz} = R_\text{b} + R_\text{párh}\), azaz \(R_\text{össz} = R_\text{b} + 1.5\).
A teljesítmény mindkét esetben ugyanaz, így az arányok összevetéséből \(R_\text{b} = 3 \, \Omega\).
A belső feszültség \(U_\text{b} = 9 \, \text{V}\), mivel az áram és az ellenállások alapján számolva ez az érték adódik.
Összegzés
A telep belső ellenállása \(3 \, \Omega\), míg a belső feszültsége \(9 \, \text{V}\). Az ellenállások kapcsolási módja befolyásolja a külső terhelésen jelentkező feszültséget, de a teljesítmény mindkét esetben azonos. Ez a példa jól mutatja, hogyan alkalmazhatóak az elektromosságtan alapképletei a gyakorlati problémák megoldására.
