Ez a cikk a fizika egyik alapvető jelenségét vizsgálja, amely a rugós mozgással és az ehhez kapcsolódó energiákkal foglalkozik. Képzeljünk el egy egyszerű rendszert, amelyben egy rugóval és egy fonállal végzünk kísérletet. A feladat célja, hogy meghatározzuk, hogyan kell kiszámolni a test legnagyobb sebességét, a rugó maximális rugalmas energiáját és azt, hogy hány időt vesz igénybe a rugó feszítése egy teljes periódus során. Az alábbiakban lépésről lépésre megoldjuk a feladatot, figyelembe véve a megadott paramétereket és képleteket.
Feladat bemutatása
A kísérletben 20 cm hosszú, terhetlen rugó felső végét rögzítjük, az alsó végéhez pedig egy 20 cm hosszú fonalat kötünk. A fonál szabad végére egy 0,1 kg tömegű testet erősítünk. Ezt a testet 25 cm-rel a rögzítési pont alatt elengedjük. A rugó rugóállandója 50 N/m. A feladatok a következő kérdésekre keresnek választ:
- a) Mekkora lesz a test legnagyobb sebessége?
- b) Mekkora a rugó legnagyobb rugalmas energiája?
- c) Mekkora időt vesz igénybe a rugó feszítése egy periódus során?
Rugós mozgás és energia alapjai
A feladatban szereplő rendszer egy klasszikus példa arra, hogyan működnek a mechanikai rezgő rendszerek, amikor egy tömeget egy rugóval és fonállal akasztanak fel. A fő paraméterek, amelyeket figyelembe kell venni a számítások során, a következők:
- Rugóállandó (k) = 50 N/m
- Test tömege (m) = 0,1 kg
- Rugó kezdeti hossza (L₀) = 20 cm
- Rugó maximális megnyúlása (ΔL) = 25 cm
A rugós mozgás alapját a Hooke-törvény adja, amely szerint a rugó megnyúlása arányos a rá ható erővel: F = -k * ΔL, ahol F a rugóra ható erő, k a rugóállandó, és ΔL a rugó megnyúlása.
a) A test legnagyobb sebessége
A test legnagyobb sebessége akkor következik be, amikor a rugó középpontjában halad, és ekkor a rugó teljes potenciális energiája átalakul kinetikus energiává. A mozgásban lévő test legnagyobb sebességét a következő képlet segítségével számolhatjuk ki:
v_max = √(k * ΔL² / m)
Behelyettesítve a megadott adatokat:
v_max = √(50 N/m * (0,25 m)² / 0,1 kg) = √(50 * 0,0625 / 0,1) = √(3,125) ≈ 1,77 m/s
Tehát a test legnagyobb sebessége körülbelül 1,77 m/s.
b) A rugó legnagyobb rugalmas energiája
A rugó maximális rugalmas energiáját akkor éri el, amikor a legnagyobb megnyúlásnál van, azaz amikor a rugó maximálisan feszített állapotban van. A rugó rugalmas energiája a következő képlettel számolható ki:
E_rugó = 1/2 * k * ΔL²
Behelyettesítve a megadott adatokat:
E_rugó = 1/2 * 50 N/m * (0,25 m)² = 1/2 * 50 * 0,0625 = 1,5625 J
Ezért a rugó legnagyobb rugalmas energiája 1,5625 J.
c) A rugó feszítése periódusonként
A periódus az az időtartam, amely alatt a rendszer egy teljes rezgést végez el. A rugó rendszerek periódusidejét a következő képlet adja:
T = 2π * √(m / k)
Behelyettesítve a megadott adatokat:
T = 2π * √(0,1 kg / 50 N/m) = 2π * √(0,002) ≈ 2π * 0,0447 ≈ 0,28 s
Tehát a rugó feszítése körülbelül 0,28 másodperc alatt történik meg egy teljes periódus során.
Összegzés
Ez a feladat segített megérteni a rugós mozgás alapvető jellemzőit és azt, hogyan lehet kiszámolni a test legnagyobb sebességét, a rugó maximális rugalmas energiáját és a periódus időtartamát. A legnagyobb sebesség 1,77 m/s, a rugó maximális rugalmas energiája 1,5625 J, és a periódus körülbelül 0,28 másodperc. Az ilyen típusú számítások segítenek jobban megérteni a mechanikai rezgéseket és azok viselkedését a különböző környezetekben.
