Excel-Tutorial: So lassen Sie sich beim Wurzelrechnen die Näherungszahl per Intervallhalbierungsverfahren automatisch ausgeben

Willkommen zu diesem umfassenden Tutorial, in dem wir Ihnen zeigen, wie Sie die Wurzelrechnung in Excel mithilfe des Intervallhalbierungsverfahrens (auch Bisektionsverfahren genannt) automatisieren können. Viele kennen Excel nur für einfache Tabellenkalkulationen, aber es ist ein mächtiges Werkzeug, das auch für komplexe numerische Berechnungen genutzt werden kann. Dieses Verfahren ist besonders nützlich, wenn Sie keine Taschenrechnerfunktion für Wurzeln zur Verfügung haben oder die Berechnung in einer dynamischen Tabelle benötigen, bei der sich die Werte ständig ändern.

Was ist das Intervallhalbierungsverfahren?

Bevor wir in die praktische Umsetzung in Excel eintauchen, wollen wir kurz das Prinzip des Intervallhalbierungsverfahrens erläutern. Es handelt sich um einen numerischen Algorithmus zur Bestimmung der Nullstelle einer stetigen Funktion innerhalb eines gegebenen Intervalls. Für unsere Zwecke, die Wurzelberechnung, wandeln wir das Problem so um, dass wir eine Nullstelle suchen. Angenommen, wir möchten die Wurzel aus einer Zahl x berechnen. Wir suchen also eine Zahl y, so dass y² = x oder äquivalent y² – x = 0. Wir suchen also die Nullstelle der Funktion f(y) = y² – x.

Das Verfahren funktioniert folgendermaßen:

1. Wir definieren ein Intervall [a, b], in dem die Nullstelle (unsere Wurzel) liegen muss. Das bedeutet, dass f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben müssen (entweder f(a) positiv und f(b) negativ, oder umgekehrt).
2. Wir berechnen den Mittelpunkt c des Intervalls: c = (a + b) / 2.
3. Wir werten die Funktion f(c) am Mittelpunkt aus.
4. Wir überprüfen, ob f(c) nahe genug an Null liegt (d.h., ob wir unsere gewünschte Genauigkeit erreicht haben). Wenn ja, ist c unsere Näherungslösung.
5. Wenn nicht, überprüfen wir, ob f(a) und f(c) unterschiedliche Vorzeichen haben. Wenn ja, liegt die Nullstelle im Intervall [a, c]. Wir setzen dann b = c.
6. Andernfalls müssen f(c) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben. Die Nullstelle liegt also im Intervall [c, b]. Wir setzen dann a = c.
7. Wir wiederholen die Schritte 2 bis 6, bis wir die gewünschte Genauigkeit erreicht haben.

Praktische Umsetzung in Excel

Nun wenden wir das Intervallhalbierungsverfahren in Excel an. Wir erstellen eine Tabelle mit den folgenden Spalten:

• x: Die Zahl, aus der wir die Wurzel ziehen möchten.
• a: Die untere Grenze des Intervalls.
• b: Die obere Grenze des Intervalls.
• c: Der Mittelpunkt des Intervalls.
• f(c): Der Funktionswert am Mittelpunkt (c² – x).
• Genauigkeit: Ein Schwellenwert, der bestimmt, wann wir mit der Iteration aufhören.

Schritt 1: Vorbereitung der Tabelle

1. Öffnen Sie Excel und erstellen Sie ein neues Arbeitsblatt.
2. Beschriften Sie die Zellen in der ersten Zeile mit den oben genannten Spaltenüberschriften (z.B. in A1, B1, C1, D1, E1 und F1).
3. Tragen Sie in Zelle A2 den Wert für x ein, aus dem Sie die Wurzel ziehen möchten. Zum Beispiel 9.
4. Bestimmen Sie ein passendes anfängliches Intervall [a, b]. Da wir die Wurzel aus 9 ziehen wollen, könnte ein sinnvolles Intervall [0, 10] sein. Tragen Sie 0 in Zelle B2 und 10 in Zelle C2 ein.
5. Tragen Sie in Zelle F2 den gewünschten Genauigkeitswert ein. Zum Beispiel 0.001.

Schritt 2: Formeln für die Berechnung

1. In Zelle D2 (für c) geben Sie die Formel =(B2+C2)/2 ein. Dies berechnet den Mittelpunkt des Intervalls.
2. In Zelle E2 (für f(c)) geben Sie die Formel =D2^2-A2 ein. Dies berechnet den Wert der Funktion f(y) = y² – x am Mittelpunkt.

Schritt 3: Iteration und Bedingte Formatierung

Hier kommt der etwas trickreichere Teil. Wir müssen die Iteration des Intervallhalbierungsverfahrens in Excel simulieren. Wir verwenden dazu Formeln, die auf den vorherigen Zeilen basieren.

1. In Zelle A3 lassen wir den Wert leer, da es sich um die gleiche Wurzel wie in Zeile 2 handelt.
2. In Zelle B3 (neue untere Grenze a) geben Sie die folgende Formel ein: =WENN(ABS(E2)<$F$2;B2;WENN(E2>0;D2;B2)). Diese Formel prüft, ob der absolute Wert von f(c) (E2) kleiner als die gewünschte Genauigkeit (F2) ist. Wenn ja, wird einfach der alte Wert von a (B2) übernommen, da wir bereits eine Lösung gefunden haben. Andernfalls prüft sie, ob f(c) (E2) positiv ist. Wenn ja, liegt die Nullstelle im Intervall [c, b], also wird die neue untere Grenze c (D2). Andernfalls (f(c) ist negativ oder Null) bleibt die untere Grenze a (B2) unverändert.
3. In Zelle C3 (neue obere Grenze b) geben Sie die folgende Formel ein: =WENN(ABS(E2)<$F$2;C2;WENN(E2<0;D2;C2)). Diese Formel funktioniert analog zu der für Zelle B3, bestimmt aber die neue obere Grenze. Wenn f(c) negativ ist, liegt die Nullstelle im Intervall [a, c], und die neue obere Grenze ist c.
4. In Zelle D3 (neuer Mittelpunkt c) geben Sie die Formel =(B3+C3)/2 ein.
5. In Zelle E3 (neuer Funktionswert f(c)) geben Sie die Formel =D3^2-A2 ein.
6. In Zelle F3 lassen wir den Wert leer, da es sich um die gleiche Genauigkeit wie in Zeile 2 handelt.

Schritt 4: Iteration fortsetzen und Lösung finden

1. Markieren Sie die Zellen B3 bis F3.
2. Ziehen Sie den kleinen quadratischen Punkt unten rechts in der Markierung (das „Ausfüllkästchen”) nach unten, um die Formeln in die darunterliegenden Zeilen zu kopieren. Ziehen Sie so weit, bis sich der Wert von f(c) in Spalte E der Null annähert und der absolute Wert kleiner als die Genauigkeit (F2) ist.
3. Die Näherungslösung für die Wurzel finden Sie dann im Wert von c (Spalte D) in der Zeile, in der die Bedingung ABS(f(c)) < Genauigkeit erfüllt ist.

Schritt 5: Optimierung und bedingte Formatierung (Optional)

Um die Tabelle übersichtlicher zu gestalten, können Sie bedingte Formatierung verwenden. Zum Beispiel können Sie die Zeile, in der die Lösung gefunden wurde, farblich hervorheben:

1. Markieren Sie den gesamten Datenbereich (z.B. A2:F100).
2. Gehen Sie zu „Start” -> „Bedingte Formatierung” -> „Neue Regel”.
3. Wählen Sie „Formel zur Ermittlung der zu formatierenden Zellen verwenden”.
4. Geben Sie die Formel =ABS($E2)<$F$2 ein (beachten Sie die absoluten Referenzen für die Spalten E und F).
5. Klicken Sie auf „Formatieren” und wählen Sie eine Hintergrundfarbe aus.
6. Klicken Sie auf „OK”.

Jetzt wird die Zeile, in der die Lösung gefunden wurde, automatisch hervorgehoben.

Fazit

Dieses Tutorial hat Ihnen gezeigt, wie Sie die Wurzelrechnung mit dem Intervallhalbierungsverfahren in Excel automatisieren können. Obwohl es komplexer erscheinen mag als die Verwendung einer Standard-Wurzelfunktion, bietet es ein tieferes Verständnis des numerischen Lösungsverfahrens und die Flexibilität, die Berechnung an Ihre spezifischen Bedürfnisse anzupassen. Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten für x und die Genauigkeit, um die Funktionsweise des Verfahrens besser zu verstehen. Dieses Verfahren lässt sich auch auf andere Nullstellenprobleme anwenden, indem man die Formel für f(c) entsprechend anpasst. Viel Erfolg beim Ausprobieren!