Herzlichen Glückwunsch! Sie haben sich entschieden, sich dem RSA-Verfahren zu stellen, einem Eckpfeiler der modernen Kryptographie. Ob für die nächste Informatik-Prüfung oder das tiefere Verständnis der digitalen Sicherheit – dieser Artikel wird Sie umfassend vorbereiten. Wir gehen Schritt für Schritt vor, erklären die Theorie, lösen typische Aufgaben und geben Ihnen wertvolle Tipps, damit Sie alle RSA-Herausforderungen meistern.
Was ist das RSA-Verfahren? Ein Überblick
Bevor wir uns in die Details stürzen, ist es wichtig, das grundlegende Prinzip des RSA-Verfahrens zu verstehen. RSA steht für Rivest, Shamir und Adleman, den Namen der drei Wissenschaftler, die es 1977 entwickelten. Es ist ein asymmetrisches Kryptosystem, was bedeutet, dass es zwei verschiedene Schlüssel verwendet: einen öffentlichen Schlüssel zum Verschlüsseln und einen privaten Schlüssel zum Entschlüsseln von Nachrichten.
Die Sicherheit des RSA-Verfahrens basiert auf der Schwierigkeit, sehr große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Genauer gesagt, beruht sie auf dem Problem der Primfaktorzerlegung.
Die mathematischen Grundlagen: Was Sie wirklich wissen müssen
Das RSA-Verfahren baut auf einigen wichtigen mathematischen Konzepten auf:
* Primzahlen: Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind (z.B. 2, 3, 5, 7, 11…).
* Modulare Arithmetik: Rechnen mit Resten nach Division durch eine bestimmte Zahl (den Modulus). Beispiel: 17 mod 5 = 2, weil 17 geteilt durch 5 einen Rest von 2 ergibt.
* Eulersche Phi-Funktion (φ(n)): Gibt an, wie viele Zahlen kleiner als *n* und teilerfremd zu *n* sind. Wenn *n* das Produkt zweier Primzahlen *p* und *q* ist, dann gilt φ(n) = (p-1)(q-1).
* Größter gemeinsamer Teiler (ggT): Die größte Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt.
* Modularer Exponentiation: Das Berechnen von ab mod n. Dies kann effizient mit dem Algorithmus „Square and Multiply” durchgeführt werden.
* Modularer Inverses: Die modulare Inverse von a modulo m ist eine ganze Zahl x, so dass (a * x) mod m = 1. Sie existiert nur, wenn a und m teilerfremd sind (ggT(a, m) = 1).
Die Schlüsselerzeugung: Schritt für Schritt
Der Prozess der Schlüsselerzeugung ist der Kern des RSA-Verfahrens. Hier ist eine detaillierte Anleitung:
1. Wählen Sie zwei große Primzahlen p und q: Diese sollten idealerweise sehr groß sein (mehrere hundert Stellen), um eine ausreichende Sicherheit zu gewährleisten. In Prüfungsaufgaben werden jedoch meist kleinere Zahlen verwendet, um die Berechnungen zu vereinfachen.
2. Berechnen Sie n = p * q: *n* ist der Modulus für sowohl den öffentlichen als auch den privaten Schlüssel.
3. Berechnen Sie φ(n) = (p – 1) * (q – 1): Die Eulersche Phi-Funktion von *n*.
4. Wählen Sie eine Zahl e (den öffentlichen Exponenten) so, dass 1 < e < φ(n) und ggT(e, φ(n)) = 1: *e* muss also teilerfremd zu φ(n) sein. Üblicherweise wird für *e* die Zahl 65537 (216 + 1) gewählt, da sie eine kleine Anzahl von gesetzten Bits hat, was die modulare Exponentiation beschleunigt.
5. Berechnen Sie d (den privaten Exponenten) so, dass (d * e) mod φ(n) = 1: *d* ist die modulare Inverse von *e* modulo φ(n). Dies kann mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet werden.
Ihr öffentlicher Schlüssel ist (n, e). Ihr privater Schlüssel ist (n, d).
Die Verschlüsselung: So wird die Nachricht unleserlich
Um eine Nachricht *M* zu verschlüsseln (wobei *M* eine Zahl kleiner als *n* sein muss), verwenden Sie den öffentlichen Schlüssel (n, e):
* C = Me mod n
*C* ist der verschlüsselte Text (Chiffretext).
Die Entschlüsselung: So wird die Nachricht wieder lesbar
Um den Chiffretext *C* zu entschlüsseln, verwenden Sie den privaten Schlüssel (n, d):
* M = Cd mod n
Sie erhalten wieder die ursprüngliche Nachricht *M*.
Typische Aufgaben und wie Sie sie lösen
Lassen Sie uns einige typische Aufgaben ansehen, die in Prüfungen zum RSA-Verfahren vorkommen, und wie Sie diese am besten angehen.
Aufgabe 1: Schlüsselerzeugung
* Gegeben: p = 5, q = 11. Berechnen Sie den öffentlichen und privaten Schlüssel, wobei e = 3.
* Schritt 1: n = p * q = 5 * 11 = 55
* Schritt 2: φ(n) = (p – 1) * (q – 1) = 4 * 10 = 40
* Schritt 3: Überprüfen Sie, ob ggT(e, φ(n)) = ggT(3, 40) = 1. Ja, das stimmt.
* Schritt 4: Berechnen Sie *d* so, dass (d * e) mod φ(n) = 1. Also (d * 3) mod 40 = 1. Durch Ausprobieren oder mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus findet man d = 27, da (27 * 3) mod 40 = 81 mod 40 = 1.
* Öffentlicher Schlüssel: (55, 3)
* Privater Schlüssel: (55, 27)
Aufgabe 2: Verschlüsselung
* Gegeben: Öffentlicher Schlüssel (55, 3), Nachricht M = 7. Verschlüsseln Sie die Nachricht.
* C = Me mod n = 73 mod 55 = 343 mod 55 = 13
* Der verschlüsselte Text ist 13.
Aufgabe 3: Entschlüsselung
* Gegeben: Privater Schlüssel (55, 27), Chiffretext C = 13. Entschlüsseln Sie die Nachricht.
* M = Cd mod n = 1327 mod 55. Dies erfordert modulare Exponentiation.
* 132 mod 55 = 169 mod 55 = 4
* 134 mod 55 = 42 mod 55 = 16
* 138 mod 55 = 162 mod 55 = 256 mod 55 = 36
* 1316 mod 55 = 362 mod 55 = 1296 mod 55 = 31
* 1327 mod 55 = 1316 * 138 * 132 * 131 mod 55 = 31 * 36 * 4 * 13 mod 55 = (31 * 36) mod 55 * (4 * 13) mod 55 = (1116 mod 55) * (52 mod 55) mod 55 = 1 * 52 mod 55 = 52 mod 55 = 7
* Die entschlüsselte Nachricht ist 7.
Aufgabe 4: Finden des privaten Schlüssels mit gegebenem öffentlichen Schlüssel und Primzahlen.
* Gegeben: p = 17, q = 11, e = 7. Finden Sie den privaten Schlüssel *d*.
* Schritt 1: n = p * q = 17 * 11 = 187
* Schritt 2: φ(n) = (p – 1) * (q – 1) = 16 * 10 = 160
* Schritt 3: Berechnen Sie *d* so, dass (d * e) mod φ(n) = 1. Also (d * 7) mod 160 = 1. Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus findet man d = 23, da (23 * 7) mod 160 = 161 mod 160 = 1.
* Der private Schlüssel ist (187, 23).
Tipps für die Prüfung
* Verstehen Sie die Grundlagen: Ohne ein solides Verständnis der mathematischen Grundlagen wird es schwierig, die Aufgaben zu lösen.
* Üben, üben, üben: Lösen Sie so viele Aufgaben wie möglich. Je mehr Sie üben, desto sicherer werden Sie.
* Achten Sie auf Details: Kleine Fehler in der Berechnung können zu falschen Ergebnissen führen.
* Nutzen Sie Hilfsmittel: In manchen Prüfungen sind Taschenrechner erlaubt. Nutzen Sie diese, um die Berechnungen zu erleichtern.
* Zeitmanagement: Planen Sie Ihre Zeit sorgfältig. Verschwenden Sie nicht zu viel Zeit mit einer einzelnen Aufgabe.
* Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse: Wenn Sie Zeit haben, überprüfen Sie Ihre Ergebnisse noch einmal.
Sicherheit des RSA-Verfahrens: Was macht es so stark?
Die Sicherheit des RSA-Verfahrens hängt, wie bereits erwähnt, von der Schwierigkeit der Primfaktorzerlegung großer Zahlen ab. Wenn es jemandem gelingt, *n* in seine Primfaktoren *p* und *q* zu zerlegen, kann er φ(n) berechnen und somit den privaten Schlüssel *d* ableiten.
Moderne Implementierungen des RSA-Verfahrens verwenden Schlüssel mit einer Länge von mindestens 2048 Bit. Das bedeutet, dass *n* eine Zahl mit über 600 Dezimalstellen ist. Die Faktorisierung solcher Zahlen ist mit den heutigen Computerressourcen extrem aufwendig.
Es gibt jedoch auch andere Angriffe auf das RSA-Verfahren, die nicht direkt auf der Faktorisierung basieren, wie z.B. Chosen-Ciphertext-Angriffe. Daher ist es wichtig, RSA korrekt zu implementieren und sicherzustellen, dass die Schlüssel ausreichend lang sind.
Fazit
Das RSA-Verfahren ist ein faszinierendes und wichtiges Thema in der Informatik. Mit dem richtigen Verständnis der Grundlagen, ausreichend Übung und dem Beachten der oben genannten Tipps sind Sie bestens gerüstet, um jede RSA-Aufgabe in Ihrer Prüfung zu meistern. Viel Erfolg! Und vergessen Sie nicht: Kryptographie ist nicht nur ein Lernfeld, sondern auch ein spannendes Gebiet mit realen Auswirkungen auf unsere digitale Welt.