A matematikai óriások harca: Mennyi 7^googol mod googol valójában?

A Google névadója és a lehetetlennek tűnő kérdés 🤯

Képzeld el, hogy egyetlen szám olyan hatalmas, hogy a nulláit leírni sem tudnád az ismert univerzumban található atomok számával. Nos, a matematikában létezik ilyen szám, és a neve: googol. Ez egy 1-es, amit 100 nulla követ (azaz 10¹⁰⁰). De mi történik, ha egy még ennél is nagyobb számmal találkozunk, mint például a 7 a googol-odik hatványon (7^googol)? Az emberi elme számára ez felfoghatatlan dimenziókat ölt. Ha megpróbálnánk ezt a számot leírni, a papírok, amikre ráírnánk, túlszárnyalnák az univerzum méretét.

És most tegyük fel a kérdést: mi lenne ennek a felfoghatatlanul nagynak a maradéka, ha a googollal osztanánk? Azaz, mi a 7^googol mod googol értéke? Elsőre talán kétségbeesünk, és azonnal lemondunk a feladatról. Hogyan is lehetne kiszámítani egy ilyen gigantikus érték maradékát anélkül, hogy valaha is látnánk magát a számot? A jó hír az, hogy a matematika, pontosabban a számelmélet, olyan elegáns eszközöket ad a kezünkbe, amelyekkel még az ilyen monumentális kihívásokat is meghódíthatjuk. Ez a cikk elkalauzol minket a moduláris aritmetika birodalmába, megmutatva, hogy a gondos érvelés és néhány briliáns elmélet hogyan képes megszelídíteni a matematikai óriásokat.

A moduló világa: Az időtől a titkosításig 🕰️

Mielőtt belevágnánk a 7^googol mod googol probléma megoldásába, értsük meg, mit is jelent valójában a „moduló” művelet. A moduláris aritmetika a számelmélet egyik legfontosabb ága, és lényegében a maradékos osztásról szól. Képzeljük el egy órát: ha most délután 2 óra van, és 10 órát megyünk előre, akkor nem 12 óra lesz, hanem hajnali 0 (vagy éjfél). Pontosabban: 2 + 10 = 12, és 12 mod 12 = 0. Ugyanígy, ha 20 órát megyünk előre, akkor 2 + 20 = 22, és 22 mod 12 = 10. Az óra 12-es ciklusban működik.

A moduló művelet pontosan ezt a ciklikusságot ragadja meg. Azt mondjuk, hogy „a” kongruens „b”-vel modulo „n” (jelölése: a ≡ b (mod n)), ha „a” és „b” ugyanazt a maradékot adja „n”-nel osztva. Vagy másképp: ha „n” osztója az „a-b” különbségnek. Ez az egyszerű koncepció hihetetlenül erős, és számos területen alkalmazzák, a naptári számításoktól kezdve a modern kriptográfia alapjait képező algoritmusokig. 🔒

Fermat-tól Eulerig: A hatványozás rejtélyeinek megfejtése 💡

Amikor hatalmas hatványokat kell modulóval kezelnünk, a naiv megközelítés (azaz a szám tényleges kiszámítása és utána az osztás) kivitelezhetetlen. Szükségünk van egy trükkre. Itt jön képbe a számelmélet két óriása: Pierre de Fermat és Leonhard Euler.

Fermat kis tétele: Az első lépcsőfok

Fermat kis tétele egy gyönyörűen egyszerű állítás: ha „p” egy prímszám, és „a” egy egész szám, amelyet „p” nem oszt, akkor
a^p-1 ≡ 1 (mod p)
Ez azt jelenti, hogy ha egy számot egy prímmoduló hatványára emelünk (egy prím mínusz egyedik hatványára), akkor a maradék 1 lesz. Ez nagyszerűen leegyszerűsíti a hatványokat! Például, 2¹⁰ mod 11 = 1 (mivel 11 prím, 10 = 11-1). De mi van, ha a moduló nem prím? Mint például a mi esetünkben, ahol a moduló a googol, ami 10¹⁰⁰, tehát egyáltalán nem prím. Itt Fermat tétele már nem segít közvetlenül.

Euler-féle totiens függvény: A végső fegyver ⚔️

Szerencsére Leonhard Euler továbbfejlesztette Fermat tételét egy általánosabb esetre, amely bármilyen pozitív egész „n”-re érvényes. Ennek alapja az Euler-féle totiens függvény (vagy φ-függvény).
Az φ(n) függvény azt adja meg, hogy hány olyan pozitív egész szám van, amely kisebb, mint „n”, és relatív prím „n”-hez (azaz nincs közös osztójuk 1-en kívül).
Például:
* φ(10) = 4, mert 1-től 9-ig a 10-hez relatív prímek: 1, 3, 7, 9.
* φ(p) = p-1, ha „p” prím (például φ(11) = 10). Ez megerősíti Fermat tételét.

Euler tétele szerint, ha „a” és „n” relatív prímek (azaz gcd(a, n) = 1), akkor:

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

Ez egy rendkívül erőteljes eredmény! Ez azt jelenti, hogy ha a kitevőnk a φ(n) többszöröse, akkor az eredmény 1 lesz (mod n). Ha a kitevőnk nagyobb, mint φ(n), de nem feltétlenül annak többszöröse, akkor is jelentősen leegyszerűsíthetjük a problémát. Ha az `E` kitevőre `a^E mod n` értéket keressük, és `gcd(a, n) = 1`, akkor:
a^E ≡ a^{(E mod φ(n))} (mod n)
Azonban van egy apró, de fontos kiegészítés: ha `E < φ(n)`, akkor a kitevő redukcióra nincs szükség, vagy ha `E mod φ(n)` eredménye 0, akkor `a^E ≡ a^φ(n) ≡ 1 (mod n)` (vagy `a^0` ami `1` ha `E` pontosan `φ(n)` többszöröse, de óvatosnak kell lenni a `mod 0` esettel, ami hibás). A legpontosabb megfogalmazás szerint: `a^E ≡ a^(E mod φ(n) + φ(n)) (mod n)` ha `E = φ(n)`, akkor `a^E ≡ a^(E mod φ(n)) (mod n)`, ha `E mod φ(n)` nem nulla. Ha `E mod φ(n) = 0`, akkor `a^E ≡ 1 (mod n)`. Vagy általánosabb megközelítés: `a^E ≡ a^(E’ ) (mod n)` ahol `E’` a legkisebb nemnegatív egész, ami kongruens `E`-vel modulo `φ(n)`.
Ennek a tételnek az ereje abban rejlik, hogy a hatalmas E kitevőt egy sokkal kisebb értékre, `E mod φ(n)`-re redukálhatjuk. Ez a kulcs a 7^googol mod googol megoldásához.

A Googol titkai: φ(googol) kiszámítása 🔢

Most alkalmazzuk Euler tételét a mi feladatunkra. Először is ellenőrizzük, hogy az alap (7) és a moduló (googol) relatív prímek-e. A googol 10¹⁰⁰, azaz 2¹⁰⁰ * 5¹⁰⁰. Mivel a 7 nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel, igen, 7 és googol relatív prímek. Ez fantasztikus hír! 🤗

Most ki kell számolnunk φ(googol) értékét.
A φ-függvény egyik hasznos tulajdonsága, hogy ha „m” és „n” relatív prímek, akkor φ(mn) = φ(m)φ(n).
A googol = 10¹⁰⁰ = (2 * 5)¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ * 5¹⁰⁰.
Mivel 2¹⁰⁰ és 5¹⁰⁰ relatív prímek, alkalmazhatjuk a tulajdonságot:
φ(10¹⁰⁰) = φ(2¹⁰⁰) * φ(5¹⁰⁰).

A φ-függvény hatványokra vonatkozó szabálya: ha „p” prím és „k” pozitív egész, akkor φ(p^k) = p^k – p^k-1.
Ezt alkalmazva:
φ(2¹⁰⁰) = 2¹⁰⁰ – 2^100-1 = 2¹⁰⁰ – 2⁹⁹ = 2⁹⁹ * (2 – 1) = 2⁹⁹.
φ(5¹⁰⁰) = 5¹⁰⁰ – 5^100-1 = 5¹⁰⁰ – 5⁹⁹ = 5⁹⁹ * (5 – 1) = 4 * 5⁹⁹.

Most szorozzuk össze ezeket az eredményeket:
φ(googol) = 2⁹⁹ * (4 * 5⁹⁹)
φ(googol) = 2⁹⁹ * 2² * 5⁹⁹
φ(googol) = 2¹⁰¹ * 5⁹⁹.

Ez egy óriási szám, de sokkal kisebb, mint maga a googol!

A kitevő redukálása: googol mod φ(googol) 🎯

Most, hogy tudjuk φ(googol) értékét, alkalmazhatjuk Euler tételét. A 7^googol mod googol értékéhez a kitevőt, azaz a googol-t kell redukálnunk φ(googol) szerint. Kiszámoljuk tehát: googol mod φ(googol).

Emlékezzünk:
A kitevő: E = googol = 10¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ * 5¹⁰⁰.
A moduló Euler-függvénye: φ(googol) = 2¹⁰¹ * 5⁹⁹.

A feladatunk most az, hogy kiszámoljuk a maradékot, amikor 2¹⁰⁰ * 5¹⁰⁰-t elosztjuk 2¹⁰¹ * 5⁹⁹-nel.
Nézzük meg az arányukat:
E / φ(googol) = (2¹⁰⁰ * 5¹⁰⁰) / (2¹⁰¹ * 5⁹⁹)
E / φ(googol) = (5¹⁰⁰ / 5⁹⁹) * (2¹⁰⁰ / 2¹⁰¹)
E / φ(googol) = 5 * (1/2)
E / φ(googol) = 5/2 = 2.5.

Ez azt jelenti, hogy a googol 2.5-szer nagyobb, mint φ(googol). Tehát:
googol = 2 * φ(googol) + 0.5 * φ(googol).
A moduló operáció (maradékos osztás) azt a maradékot adja, ami az osztás után megmarad. Ebben az esetben a hányados 2 (floor(2.5)), és a maradék:
Maradék = googol – 2 * φ(googol)
Maradék = (2¹⁰⁰ * 5¹⁰⁰) – 2 * (2¹⁰¹ * 5⁹⁹)
Maradék = (2¹⁰⁰ * 5¹⁰⁰) – (2¹⁺¹⁰¹ * 5⁹⁹)
Maradék = (2¹⁰⁰ * 5¹⁰⁰) – (2¹⁰² * 5⁹⁹)

Vegyük ki a közös tényezőket: 2¹⁰⁰ és 5⁹⁹.
Maradék = 2¹⁰⁰ * 5⁹⁹ * (5¹ – 2²)
Maradék = 2¹⁰⁰ * 5⁹⁹ * (5 – 4)
Maradék = 2¹⁰⁰ * 5⁹⁹ * 1
Maradék = 2¹⁰⁰ * 5⁹⁹.

Ezt az értéket még tovább egyszerűsíthetjük:
Maradék = 2 * (2⁹⁹ * 5⁹⁹)
Maradék = 2 * (2 * 5)⁹⁹
Maradék = 2 * 10⁹⁹.

Ez a szám, 2-szer 10⁹⁹, lesz az új kitevőnk! Ez még mindig egy hatalmas szám (egy 2-es, amit 99 nulla követ), de már nem a googol.

A végső válasz: Az óriás megszelídült ✨

Tehát Euler tételét alkalmazva a 7^googol mod googol értékére, a következő eredményt kapjuk:
7^googol ≡ 7^{(2 * 10^99)} (mod 10¹⁰⁰).

Ez a mi „valódi” válaszunk. Nem egy egyszerű szám, mint például „3” vagy „0”, hanem egy moduláris kifejezés, amely a lehető legegyszerűbb formában adja meg a megoldást anélkül, hogy a tényleges, felfoghatatlanul nagy számot ki kellene számolnunk.

Reflexió és tanulság: A matematika ereje és szépsége 💖

Ez a probléma gyönyörűen illusztrálja a számelmélet és általában a matematika erejét. Szembesültünk egy kérdéssel, amely közvetlenül megoldhatatlannak tűnt a puszta méretek miatt. A 7^googol számot soha nem fogjuk tudni leírni vagy egy számítógéppel kiszámítani. Mégis, a megfelelő algoritmusok és elméletek (Fermat tétele, Euler φ-függvénye) segítségével képesek voltunk redukálni a problémát egy kezelhetőbb formára.

„A matematika nem arról szól, hogy bonyolult dolgokat egyszerűvé tegyünk, hanem arról, hogy egyszerű dolgokat érthetetlenül bonyolulttá tegyünk, mielőtt ismét elegánsan egyszerűvé válnának.” – Ezt a vicces mondást gyakran halljuk, de a 7^googol mod googol esetében éppen az utóbbi történt. Egy látszólag megoldhatatlan káosz renddé alakult.

Ez a példa azt mutatja, hogy a matematikai gondolkodás nem csupán a számokról szól, hanem a minták felismeréséről, az absztrakcióról és a problémamegoldó stratégiákról. A matematikai óriások, mint Euler, olyan eszközöket adtak nekünk, amelyekkel a legelborultabbnak tűnő feladatokat is meg tudjuk oldani. A végeredmény, bár maga is egy hatalmas számot jelölő kifejezés, valójában egy elegáns redukció, amely igazolja a számelmélet mélységét és szépségét. A modern világban a kriptográfia és a digitális biztonság éppen az ilyen típusú, moduláris aritmetikán alapuló számításokra épül, védve banki tranzakcióinkat, kommunikációinkat és adatainkat. Így tehát, amikor legközelebb egy „lehetetlen” matematikai problémával találkozunk, emlékezzünk erre a googol-problémára, és keressük a számelmélet rejtett szépségét és erejét! 🌟