Az extrém számok világa: Megkíséreljük megbecsülni Acker(6,6) googolplex alapú logaritmusát

Képzeljünk el egy számot. Egy nagy számot. Mondjuk, egy milliárdot, vagy egy trillió dollárt. Ezek már önmagukban is felfoghatatlan nagyságrendek a mindennapi életben. Ám a matematika birodalma olyan mélységekbe nyúlik, ahol ezek a számok apró porszemekké válnak, és az emberi intuíció teljesen csődöt mond. Léteznek olyan gigászi numerikus értékek, amelyek megértéséhez új fogalmakra és jelölésekre van szükségünk. Cikkünkben egy ilyen szörnyeteggel, az Acker(6,6)-tal vesszük fel a harcot, és megpróbáljuk egy még nagyobb, ám talán ismertebb skálához, a googolplexhez viszonyítani, annak logaritmusát megbecsülve. Ez nem csupán egy matematikai játék, hanem egy utazás az absztrakció végső határáig. 🤯

Miért van szükség új jelölésekre az extrém számokhoz?

Kezdjük a legalapvetőbb problémával: hogyan írunk le egy olyan számot, ami egyszerűen túl nagy ahhoz, hogy a normál exponenciális formában elférjen egy könyvben, vagy akár a világegyetem összes atomjánál több számjegyet tartalmazzon? A googol, ami 10¹⁰⁰, már kihívást jelenthet a felfogásunk számára. A googolplex pedig 10^googol, vagyis 10^(10100). Ez annyi nulla, hogy ha minden részecske a megfigyelhető univerzumban egy tintapaca lenne, nem lenne elég tintánk, hogy leírjuk az összes nullát. Ez a szám már egy hatalmas méretű, mégis csak a jéghegy csúcsa az extrém számok univerzumában. 🔢

A hagyományos hatványozás (a^b) azonban hamarosan elégtelenné válik. Ha a kitevő is extrém nagy, akkor már „tornyosuló hatványokat” kapunk, mint például 2²²². Ezért vezették be az úgynevezett hiperoperációkat, amelyek a szokásos aritmetikai műveletek kiterjesztései:

• Összeadás: a + b
• Szorzás: a × b (iterált összeadás)
• Hatványozás: a^b (iterált szorzás)
• Tetráció (Knuth-féle felnyilazás): a^^b vagy a ↑↑ b (iterált hatványozás). Például 2^^4 = 2²²² = 65536.

És itt még nem állunk meg! A Knuth-féle felnyilazás jelölést (↑↑, ↑↑↑, stb.) további szintekre lehet kiterjeszteni, ahol minden egyes nyíl egy újabb iterációs szintet jelent. Minél több a nyíl, annál gyorsabban nő a szám. Ez a jelölésrendszer teszi lehetővé, hogy a valóban felfoghatatlanul óriási számokat is valamennyire kezelhető formában írjuk le.

Az Ackermann-függvény: A növekedés bajnoka

Az Ackermann-függvény, amelyet Wilhelm Ackermann vezetett be 1928-ban, egy rekurzív függvény, amely hihetetlenül gyorsan nő. Gyakran használják a számítástudományban a növekedési sebesség illusztrálására, és arra, hogy bemutassák, hogyan lehet olyan függvényeket konstruálni, amelyek nem primitív rekurzívak. Defíciója a következő:

A(m, n) =
n + 1, ha m = 0
A(m-1, 1), ha m > 0 és n = 0
A(m-1, A(m, n-1)), ha m > 0 és n > 0

Nézzük meg, hogyan fejlődik ez a függvény az m és n értékeinek növelésével:

• A(0, n) = n + 1 (lineáris növekedés)
• A(1, n) = n + 2 (szintén lineáris, de gyorsabb)
• A(2, n) = 2n + 3 (még mindig lineáris, de meredekebb)
• A(3, n) = 2⁽ⁿ⁺³⁾ – 3 (exponenciális növekedés!)

Eddig még viszonylag kezelhetőnek tűnik. De mi történik, ha m = 4? 💡

• A(4, 0) = A(3, 1) = 2⁽¹⁺³⁾ – 3 = 2⁴ – 3 = 13
• A(4, 1) = A(3, A(4, 0)) = A(3, 13) = 2⁽¹³⁺³⁾ – 3 = 2¹⁶ – 3 ≈ 65 533
• A(4, 2) = A(3, A(4, 1)) = A(3, 2¹⁶ – 3) = 2^{(216 – 3 + 3)} – 3 = 2⁽²¹⁶⁾ – 3. Ez már egy tetráció: 2^^3 – 3.

Láthatjuk, hogy A(4, n) már egy tornyosuló hatvány, ahol a kitevők tornya n-től függően növekszik. A(4,4) például már egy hatalmas szám. És ez még mindig csak m=4! 🚀

Acker(6,6): A kozmikus szörnyeteg

Most jöjjön a mi főszereplőnk: Acker(6,6). Gondoljunk bele, ha A(4, n) már ennyire extrém, akkor mi történik A(5, n)-nél vagy A(6, n)-nél? Az Ackermann-függvény növekedési sebessége nem pusztán exponenciális, hanem sokkal, de sokkal gyorsabb. A(5, n) lényegében annyiszor ismétli az A(4, n) operációt, ahányszor n megengedi. Ez azt jelenti, hogy A(5, n) már a Knuth-féle felnyilazás sokszoros, iterált alkalmazásának felel meg. Egyszerűbben fogalmazva: A(5, n) annyi 2-esből álló torony, amelynek a magassága maga is egy 2-es torony, aminek a magassága egy 2-es torony… és ez a szerkezet ismétlődik. Ez már a pentráció (ötödik operáció) szintjére emeli a számot. A(6, n) pedig egy újabb absztrakciós szinttel magasabb. Ez hexáció, egy hatodik operáció.

Pontosabb megfogalmazás nélkül is elmondhatjuk, hogy Acker(6,6) olyan gigantikus érték, amelyet az agyunk nem képes felfogni, és a világegyetem sem elég nagy ahhoz, hogy a számjegyeit tárolja. Még a Gragam-szám is, amely eddig a legnagyobb, tudományosan használt szám volt, eltörpül Acker(4,4) mellett, nemhogy Acker(6,6) árnyékában. Ez a szám olyan távol van a googolplextől, mint a googolplex a nullától.

A Googolplex mint viszonyítási alap

Miért éppen a googolplexhez viszonyítunk? Mert ez az egyik legismertebb és leggyakrabban emlegetett „óriási szám”. Ahogy korábban említettük, a googolplex 10^(10100). Ez a szám már olyan nagy, hogy a fizikai valóságunkban nincs rá analógia. Mégis, amikor Acker(6,6) nagyságrendjéről beszélünk, a googolplex csupán egy apró mértékegység, egy kezdeti lépés a végtelenbe. Olyan ez, mintha egy porszemet próbálnánk megmérni a Föld bolygó tömegéhez viszonyítva.

A logaritmus fogalma segít nekünk abban, hogy a rendkívül nagy számokat is értelmezhető tartományba hozzuk. A logaritmus arra a kérdésre ad választ, hogy egy adott alaphoz képest hányszor kell magunkat hatványozni, hogy elérjük a kívánt számot. Például, log₁₀(100) = 2, mert 10² = 100.

Amikor Acker(6,6) googolplex alapú logaritmusát keressük, azt szeretnénk megtudni, hogy hányszor kell a googolplexet önmagával hatványozni, hogy elérjük Acker(6,6)-ot. Matematikailag ez log_googolplex(Acker(6,6)).

Az Acker(6,6) googolplex alapú logaritmusának becslése ❓

Közvetlenül kiszámítani ezt az értéket lehetetlen. Nincs az a számítógép, ami ezt megtenné. Ahhoz, hogy megbecsüljük, meg kell értenünk, hogyan viselkedik az Ackermann-függvény a logaritmusokkal. A kulcs az, hogy a logaritmus művelet „lefejti” a számok hatványtornyait. Például:

• log₁₀(10^X) = X
• log₁₀(10^10X) = 10^X

Acker(m,n) esetében (különösen m ≥ 5-nél) a szám alapvetően egy olyan „torony”, ahol az egyes szinteken lévő kitevők is extrém nagy számok. Ezt úgy is elképzelhetjük, mint 10^{(valami nagyon nagy)}. Az „nagyon nagy” része pedig maga is egy Ackermann-függvény formában írható le, de egy szinttel lejjebb (az ‘m’ index eggyel kevesebb lesz).

A numerikus becsléshez használjuk a logaritmus azon tulajdonságát, hogy log_b(N) = log_c(N) / log_c(b). Mi a 10-es alapú logaritmust használjuk c-nek, mert az egyszerűsíti a számjegyekkel való munkát.

log_googolplex(Acker(6,6)) = log₁₀(Acker(6,6)) / log₁₀(googolplex)

Tudjuk, hogy log₁₀(googolplex) = log₁₀(10¹⁰¹⁰⁰) = 10¹⁰⁰, ami éppen egy googol. Tehát:

log_googolplex(Acker(6,6)) = log₁₀(Acker(6,6)) / googol

Most jön a nehezebb rész: megbecsülni log₁₀(Acker(6,6))-ot. Az Ackermann-függvény (m ≥ 5) olyan gyorsan nő, hogy a 10-es alapú logaritmusának nagyságrendje gyakorlatilag egyenlő a függvény egy „leegyszerűsített” változatával. Nevezetesen, log₁₀(A(m,n)) ≈ A(m-1, A(m,n-1)).

Ennek megfelelően, a 10-es alapú logaritmusra a következő becslés adható:

log₁₀(Acker(6,6)) ≈ Acker(5, Acker(6,5))

Ezt a becslést úgy lehet interpretálni, hogy Acker(6,6) egy olyan szám, ami egy 10-es alapú hatványtorony, melynek a „magassága” (azaz a legfelső kitevő) Acker(5, Acker(6,5)). Ez a magasság önmagában is egy szédítően gigászi érték. Szinte elképzelhetetlenül hatalmas.

Ha ezt behelyettesítjük az eredeti képletbe, akkor az Acker(6,6) googolplex alapú logaritmusának becslése a következő lesz:

log_googolplex(Acker(6,6)) ≈ Acker(5, Acker(6,5)) / googol

Ez az eredmény önmagában is hatalmas, felfoghatatlan. Acker(5, Acker(6,5)) egy olyan szám, ami már A(5,n) növekedési ütemét mutatja, de az ‘n’ helyén egy Acker(6,5) áll. Ez azt jelenti, hogy Acker(5, Acker(6,5)) egy több „szintű” hiperoperáció eredménye, ahol a szintek számát Acker(6,5) határozza meg. Ezt az eredményt osztjuk el egy „viszonylag” kisebb, de mégis gigantikus számmal, a googollal.

Ennek a hányadosnak az értéke tehát továbbra is egy olyan mérhetetlenül nagy szám, amelyet nem lehet elképzelni. Ez már nem egy egyszerű egész szám, hanem egy meta-szám, egy olyan kifejezés, amelynek kiértékelése önmagában is túlszárnyalja a fizikai valóságunk korlátait. Az emberi elme számára ez a becslés azt mutatja, hogy Acker(6,6) olyan távol van a googolplextől, hogy a googolplexet annyiszor kellene hatványozni önmagával, amennyi Acker(5, Acker(6,5)) / googol. Ez egy olyan nagyságrendbeli különbség, amely messze meghaladja a megfigyelhető univerzum atomjainak számát, a lehetséges Planck-idő-egységek számát a világegyetem korában, vagy bármely más fizikai korlátot.

Miért fontos ez?

Az extrém számok tanulmányozása, még ha elsőre elvontnak is tűnik, fontos területe a matematikának és a számítástudománynak. Segít megérteni a számítási komplexitás határait, a rekurzív függvények növekedési sebességét, és általában véve a matematika absztrakt erejét. 💡

• Számítástudomány: Az ilyen gyorsan növekvő függvények segítik a teoretikus informatikusokat abban, hogy a legrosszabb esetekben fellépő futási időket becsüljék meg algoritmusok esetén. A Busy Beaver függvény például szintén Ackermann-szerű növekedést mutat.
• Matematikai logika: Az Ackermann-függvény bemutatja, hogy léteznek olyan függvények, amelyeket nem lehet primitív rekurzióval definiálni, ami alapvető felfedezés a rekurzív függvények elméletében.
• A nagyságrendek megértése: Bár emberi szinten nem értelmezhető, az ilyen számok elgondolkodtatnak minket a végtelen fogalmáról és a matematika korlátairól, valamint arról, mennyire aprók vagyunk mi magunk a numerikus valóság mérhetetlen dimenziójában. Ez egyfajta alázatot ébreszt bennünk a matematika erejével szemben. 🙏

Konklúzió: A felfoghatatlan határán

Utazásunk az extrém számok világába bemutatta, hogy a googolplex is csak egy mérföldkő a végtelenbe vezető úton. Acker(6,6) olyan mérhetetlenül gigantikus érték, hogy még a googolplex alapú logaritmusának kifejezése is egy másik, szinte equally felfoghatatlan számot eredményezett: Acker(5, Acker(6,5)) / googol. Ez az eredmény nem egy konkrét numerikus érték, hanem egy mélyebb megértés az Ackermann-függvény növekedési hierarchiájáról.

A mai modern világban, ahol az adatok mérete, a processzorok sebessége és a hálózatok kapacitása is exponenciálisan nő, könnyen elfelejtjük, hogy a valós számok világa mennyire kiterjedt. Acker(6,6) emlékeztet minket arra, hogy a matematikának vannak olyan területei, ahol az intuíciónk teljesen csődöt mond, és ahol a puszta leírás is új paradigmákat igényel. Ez a numerikus Everest nem csupán egy érdekesség; ez egy ablak az absztrakció végső határaira, egy bizonyíték arra, hogy a számok birodalma sokkal gazdagabb és rejtélyesebb, mint azt valaha is gondoltuk. 🌌