A valószínűségszámítás gyakran segít megérteni, hogy egy adott esemény vagy jelenség mennyire valószínű. Most egy egyszerű, de érdekes problémát fogunk elemezni, amely három különböző színű doboz, valamint azok golyóinak különböző mintázatait vizsgálja. A feladat célja, hogy meghatározzuk, hány különböző minta hozható létre, amikor három dobozból egy-egy golyót húzunk ki, mindegyik dobozban 4 golyó található. A cél az, hogy a lehető legpontosabban és részletesebben számoljuk ki a lehetséges variációkat. A kérdés akkor válik igazán izgalmassá, ha változtatjuk a golyók számát, és megnézzük, hogyan változik a minták száma, ha minden dobozban nem 4, hanem 5 golyó található.
Feladat: Három doboz, négy golyóval
Képzeljünk el három különböző színű dobozt: piros, kék és zöld. Minden dobozban 4 golyó van, amelyek 1-től 4-ig vannak számozva. A feladat az, hogy kiszámoljuk, hány különböző mintát hozhatunk létre, ha minden dobozból kihúzunk egy-egy golyót, majd azokat lerakjuk valamilyen sorrendben.
Az első lépés az, hogy megértsük, hány lehetséges választásunk van minden egyes doboz esetén. Mivel mindegyik dobozban 4 golyó található, a következő számításokat végezhetjük el:
- A piros dobozból 4 golyó közül választhatunk, tehát 4 lehetőségünk van.
- A kék dobozból szintén 4 golyó közül választhatunk, tehát ismét 4 lehetőségünk van.
- A zöld dobozból is 4 golyó közül választhatunk, tehát itt is 4 lehetőségünk van.
Ezért az összes lehetséges mintázat száma, azaz a három dobozból való egy-egy golyó kihúzásának összes kombinációja az alábbi képlettel számolható ki:
Összes lehetséges mintázat = 4 (piros) × 4 (kék) × 4 (zöld) = 64
Ez azt jelenti, hogy 64 különböző mintát hozhatunk létre, ha minden dobozból egy-egy golyót húzunk ki, és azokat különböző sorrendben lerakjuk.
Mi történik, ha 5 golyót rakunk a dobozokba?
Most tegyük fel, hogy minden dobozba nem 4, hanem 5 golyót rakunk. Hogyan változik a lehetséges minták száma? Az új feltételek szerint a számítás a következőképpen módosul:
- A piros dobozban 5 golyó található, tehát 5 választási lehetőségünk van.
- A kék dobozban is 5 golyó található, tehát 5 választási lehetőségünk van.
- A zöld dobozban is 5 golyó található, tehát 5 választási lehetőségünk van.
A képlet alapján a lehetséges mintázatok száma most így néz ki:
Összes lehetséges mintázat = 5 (piros) × 5 (kék) × 5 (zöld) = 125
Tehát, ha minden dobozba 5 golyót rakunk, akkor az összes lehetséges minta száma 125-re nő. A minták számának növekedése azáltal következik be, hogy minden dobozban több golyó található, így több választási lehetőség kínálkozik mindhárom doboz esetében.
Összegzés
Ez a feladat segített megérteni a valószínűségszámítás alapvető összefüggéseit, különösen azt, hogy hogyan növekszik a lehetséges minták száma, amikor a választási lehetőségek (jelen esetben a golyók száma) bővülnek. Amikor három dobozból egy-egy golyót húzunk ki, és mindegyik dobozban 4 golyó van, akkor 64 különböző mintát hozhatunk létre. Ha azonban mindhárom dobozba 5 golyót rakunk, akkor már 125 lehetséges mintát kapunk. Az ilyen típusú problémák a valószínűségszámítás világába vezetnek, és segítenek megérteni a kombinatorika alapjait.
