Léteznek olyan matematikai felvetések, amelyek első hallásra szinte dogmának tűnnek, és az ember hajlamos elhinni, hogy mögöttük rendíthetetlen logikai fal áll. Az egyik ilyen népszerű kérdés, amely időről időre felbukkan a számok világában kutakodók körében, így hangzik: tényleg sohasem prím a két egyes között páratlan darab nullát tartalmazó szám? 🧐
Nos, mielőtt rávágjuk a válaszként a „sohasem” szót, érdemes kicsit mélyebbre ásni, mert mint annyi más esetben, itt is van egy apró, de annál fontosabb kivétel, amely azonnal borítja a kártyákat. A számelmélet tele van meglepetésekkel, és ez a kérdés is egy tökéletes példa arra, hogy a felszínes szemlélődés milyen könnyen tévútra vezethet. Vágjunk is bele, és fedezzük fel együtt ezt a lenyűgöző mintázatot!
A kivétel, amely erősíti a szabályt: 101
Kezdjük rögtön azzal, ami talán a leginkább szembeötlő ellentmondás az eredeti felvetésben. Vegyük a legelső ilyen alakú számot, ahol páratlan darab nulla található a két egyes között: ez az egy darab nullát tartalmazó 101. Aki egy kicsit is jártas a prímszámok világában, az tudja, hogy a 101 bizony prím! Nincs valódi osztója 1-en és önmagán kívül. Márpedig ez a szám tökéletesen megfelel a kritériumoknak: két egyes között egy, azaz páratlan darab nullát rejt. 🤔
Ez az egyetlen ellenpélda elegendő ahhoz, hogy az „sohasem prím” állítást cáfoljuk. De akkor miért élhet a köztudatban egy ilyen, ránézésre logikusnak tűnő, de valójában hibás megállapítás? Nos, a többi eset vizsgálata adja meg a választ, és megmutatja, hogy a 101 valójában egy különleges eset, és a többi, hasonló felépítésű szám valóban hajlamos az oszthatóságra.
Az „átok” eredete: Algebrai azonosságok nyomában
A fenti számtípusok, mint például az 101, 10001, 1000001 és így tovább, mind általánosíthatóak a $10^E+1$ formában, ahol $E$ a nullák számánál eggyel nagyobb kitevő. A mi esetünkben, amikor a két egyes között páratlan darab nulla van (jelöljük ezt $N$-nel), akkor a szám $10^{N+1}+1$ alakú lesz. Mivel $N$ páratlan, $N+1$ mindig páros lesz. Tehát a vizsgált számok $10^{text{páros}}+1$ formában írhatók fel. Lássuk be, ez máris elegánsabbá teszi a problémát.
A kulcs a számelmélet és az algebrai azonosságok határán rejlik. Van egy nagyon hasznos algebrai azonosság, amely segít nekünk: ha $n$ páratlan pozitív egész szám, akkor $a^n+b^n$ mindig osztható $(a+b)$-vel. Ezt a következőképpen írhatjuk fel:
$a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} – a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 – dots – ab^{n-2} + b^{n-1})$
Ez az azonosság kincset ér, hiszen a mi számaink is ehhez nagyon hasonlóak. Ha $b=1$, akkor $a^n+1$ osztható $(a+1)$-gyel, amennyiben $n$ páratlan. Most jön a csavar! A mi kitevőnk, $E = N+1$, ami mindig páros. Hogyan tudjuk akkor alkalmazni ezt az azonosságot?
A nullák száma és a kitevő: Hol a trükk?
Ha a kitevőnk, $E$, maga is páros, azaz $E = 2k$ valamilyen $k$ egészre, akkor a számunk $10^{2k}+1$ alakú. Ha ebben a $2k$ kitevőben van egy páratlan faktor, ami nagyobb 1-nél, akkor máris találunk egy osztót. Nézzünk meg néhány példát:
- Ha $N=1$, akkor $E=2$. A szám $10^2+1 = 101$. Itt a $k=1$, ami páratlan. Ez az azonosságot alkalmazva $a=10^2, n=1, b=1$ lenne, de az $n=1$ triviális eset, csak a számot magát adja osztóként. Más páratlan faktora a 2-nek (a kitevőnek) nincsen. Ezért a 101 prímszám. ✅
- Ha $N=3$, akkor $E=4$. A szám $10^4+1 = 10001$. Itt a $k=2$, ami páros. Az $a^n+b^n$ azonosságot nem tudjuk közvetlenül alkalmazni, mivel a kitevő (4) nem páratlan. Ezért az azonosság szerint nem osztható $10+1=11$-gyel, és $10^2+1=101$-gyel sem. És valóban: $10001 = 73 times 137$. Ez is egy összetett szám! 🤯
- Ha $N=5$, akkor $E=6$. A szám $10^6+1 = 1000001$. Itt a $k=3$, ami páratlan. Hurrá! Ezt felírhatjuk $(10^2)^3+1^3$ alakban. Most már van egy páratlan kitevőnk (3-as)! Az azonosság szerint $a^3+b^3$ osztható $(a+b)$-vel. Tehát $(10^2)^3+1^3$ osztható $(10^2+1)$-gyel.
$(10^2+1) = 101$. Tehát $1000001$ osztható 101-gyel!
$1000001 = 101 times 9901$. Ez is egy összetett szám. ❌ - Ha $N=7$, akkor $E=8$. A szám $10^8+1 = 100000001$. Itt a $k=4$, ami páros. Ismét nem tudjuk a fenti azonosságot közvetlenül alkalmazni. Ez is egy összetett szám: $100000001 = 17 times 5882353$. ❌
- Ha $N=9$, akkor $E=10$. A szám $10^{10}+1 = 10000000001$. Itt a $k=5$, ami páratlan. Ezért felírható $(10^2)^5+1^5$ alakban, ami osztható $(10^2+1)$-gyel, azaz 101-gyel.
$10^{10}+1 = 101 times 99009901$. Ismét egy összetett szám. ❌
A mintázat egyértelműen kirajzolódik: ha az $E = N+1$ kitevőnek van egy páratlan faktora, ami nagyobb, mint 1, akkor a $10^E+1$ számunk biztosan felbontható. Más szóval, ha $E$ nem egy kettőhatvány (azaz $E = 2^x$ alakú), akkor $10^E+1$ biztosan összetett. Például, $E=6=2 times 3$, ahol a 3 egy páratlan faktor, így $10^6+1$ osztható $10^2+1=101$-gyel. Ugyanígy $E=10=2 times 5$, ahol az 5 páratlan faktor, tehát $10^{10}+1$ osztható $10^2+1=101$-gyel.
Ez azt jelenti, hogy az összes olyan esetben, amikor $N+1$ (azaz a nullák száma plusz egy) nem egy kettőhatvány, a számunk összetett lesz. És mivel $N$ páratlan, $N+1$ mindig páros, de csak ritkán lesz pont egy kettőhatvány. Például, ha $N=5$, $N+1=6$, ami nem kettőhatvány. Ha $N=9$, $N+1=10$, ami szintén nem kettőhatvány.
A kivételek kivételei: Amikor $N+1$ kettőhatvány
Most jön a legérdekesebb rész. Mi történik, ha $N+1$ éppen egy kettőhatvány? Azaz $N+1 = 2^k$ valamilyen $k$ egészre. Ezek a számok a $10^{2^k}+1$ alakúak, amelyeket nevezhetünk általánosított Fermat számoknak (a 2-es alapú Fermat számok $F_k = 2^{2^k}+1$ alakúak). Nézzük meg újra ezeket:
- $N=1 implies N+1=2^1$. A szám $10^{2^1}+1 = 10^2+1 = 101$. Mint láttuk, ez prím. Ezzel már kibővítettük a Fermat-számok prím listáját, legalábbis a 10-es alap esetében. 😎
- $N=3 implies N+1=2^2$. A szám $10^{2^2}+1 = 10^4+1 = 10001$. Mint láttuk, ez $73 times 137$. Tehát összetett.
- $N=7 implies N+1=2^3$. A szám $10^{2^3}+1 = 10^8+1 = 100000001$. Ez is $17 times 5882353$. Ismét összetett.
- $N=15 implies N+1=2^4$. A szám $10^{2^4}+1 = 10^{16}+1$. Ez egy óriási szám, de ez is összetett! Ez $257 times 40000000000000161$.
- $N=31 implies N+1=2^5$. A szám $10^{2^5}+1 = 10^{32}+1$. Ez még nagyobb, és szintén összetett.
Láthatjuk, hogy a 101 az egyetlen kivétel ebben a sorozatban! Úgy tűnik, minden más olyan szám, ahol páratlan darab nulla van a két egyes között, és a kitevő (azaz a nullák száma +1) egy kettőhatvány, az valójában összetett. Sőt, ez a megfigyelés (hogy a $10^{2^k}+1$ számok $k ge 2$ esetén mind összetettek) egy rendkívül erős és lenyűgöző mintázatot mutat a számelméletben. A klasszikus Fermat számoknál is hasonlóan alakul a helyzet: $F_0, F_1, F_2, F_3, F_4$ prímek, de $F_5$ már összetett, és az összes többi ismert Fermat szám is az. A 10-es alapú „Fermat számok” sorozata még hamarabb elkezdődik az összetettekkel.
Miért ilyen fontos ez a kérdés a matematikában?
Talán elsőre csak egy furcsa matematikai fejtörőnek tűnik, de az ilyen típusú kérdések segítenek jobban megérteni a prímszámok eloszlását és a számok szerkezetét. A prímszámok keresése és a róluk való tudásunk bővítése alapvető a kriptográfia, a biztonságos adatátvitel és sok más modern technológia számára. Az olyan mintázatok felismerése, mint amilyeneket most vizsgáltunk, hozzájárul a számelmélet mélyebb megértéséhez.
A kérdés rámutat arra, hogy az egyszerűnek tűnő szabályszerűségek mögött gyakran bonyolultabb összefüggések húzódnak meg. Az „összetett-e a szám?” kérdés megválaszolása nem mindig egyszerű, és néha csak hatalmas számítások vagy elegáns algebrai meglátások segítenek. A 101 esete pedig egy emlékeztető: sosem szabad elhamarkodottan általánosítani egyetlen szabályt sem, még ha az első pillantásra meggyőzőnek is tűnik. Mindig keressük a kivételeket, mert azok gyakran rejtik a legmélyebb tanulságokat! 💡
Összegzés és vélemény
A kezdeti kérdésre, miszerint „tényleg sohasem prím a két egyes között páratlan darab nullát tartalmazó szám?”, tehát a válasz egy határozott NEM. A 101 gyönyörű ellenpéldaként szolgál, bebizonyítva, hogy a „sohasem” szó ritkán állja meg a helyét a matematikában. Azonban az összes többi ilyen alakú szám (ahol páratlan darab nulla van a két egyes között, kivéve a 101-et) valóban összetett.
A nullák száma és a kitevő paritásának elemzése, valamint az algebrai azonosságok alkalmazása tiszta képet ad arról, hogy miért alakul így ez a matematikai mintázat. Ahol a kitevőnek van egy páratlan faktora, ott könnyen találunk osztót. Ahol a kitevő kettőhatvány, ott pedig a 101-et leszámítva a számok szintén összetettek – bár ennek bizonyítása már jóval komplexebb. Lenyűgöző látni, ahogy a látszólag véletlenszerűnek tűnő prímszámok világában is ilyen elegáns rend és struktúra rejtőzik! Egy igazi kincsesbánya a gondolkodó elmének.
Végezetül: Egy gondolatébresztő
Gondoljunk csak bele: ahogy haladunk a számegyenesen, a prímszámok egyre ritkábban fordulnak elő, és egyre nehezebb őket megtalálni. De az olyan speciális esetek, mint a két egyes között elhelyezkedő nullák, mégis képesek rendet és előre jelezhető mintázatot mutatni. Ez azt jelzi, hogy a számok még mindig tartogatnak felfedeznivalót, és a számelmélet tudománya korántsem merült ki. Vajon mennyi még a rejtett összefüggés, amely csak arra vár, hogy valaki megtalálja?
